Ortalama Değer Teoremi (The Mean Value Theorem)

Ortalama Değer Teoremi, matematiğin en temel ve en önemli teoremlerinden biridir. Bu teoremin pek çok önemli uygulaması vardır: örneğin L'Hopital Kuralı, Leibniz Kuralı, 2. türevin simetrisi, Taylor serilerinin ispatı gibi önemli matematiksel kavramlar Ortalama Değer Teoremi üzerine kuruludur. Ortalama Değer Teoremi'ni kullanarak bir fonksiyonun türevi için tahminde bulunabiliriz.
Fiziksel Tanım; ortalama değişim hızını hesaplamak istediğiniz bir aralıkta türevlenebilir ve sürekli bir fonksiyon için, bu aralıktaki bir noktada anlık değişim hızı bu aralıktaki ortalama değişim hızına eşittir. Yani; 100 km'lik mesafeyi 1 saatte aldığınızı düşünün (ortalama hızınız vort=100 km/saat), trafik akışı ne kadar hızlı veya yavaş olursa olsun, bu aralıkta en az bir noktada anlık hızınız vanlık=100 km/saat'e eşit veya çok yakın olur.
Başka bir deyişle Ortalama Değer Teoremi; ortalama hız ile anlık hızı birbirine bağlar!
Matematiksel Tanım;

Ortamala Değer Teoremi
1) f(x), [a,b] kapalı aralığında sürekli ve
2) f(x), (a,b) açık aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise,
bu aralıkta bir c noktası vardır a<c<b, ve

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]



Ortama Değer Teoremi bize;
i) c'nin değeri hakkında bilgi vermez, ama bu aralıkta teoremin şartlarını sağlayan en az bir değerin olduğunu,
ii) bu aralıkta bu iki doğrunun eğimlerinin biribirine eşit olduğunu (veya a ve b noktalarını birleştiren Secant doğrusu ile c noktasından geçen Tanjant doğrusunun birbirine parallel olduğunu) söyler!

alıntı