Türev Fonksiyonun Grafik Çizimi ve Konkavlık

Bir önceki bölümde türev kullanarak bir fonksiyonun mutlak max ve min değerlerinin nasıl bulunabileceğini ve bunların grafiğin hangi lokasyonuna karşılık geldiğini öğrendik. Fakat türev kullanarak bir grafik hakkında öğrenebileceğimiz daha çok şey var. Bu bölümde i) fonksiyona bakarak türevinin, ii) türevin fonksiyonuna bakarak ana fonksiyonun grafiksel olarak neye benzediğini tahmin etmeye çalışacağız. Birinci türev testini analiz ederek bir fonksiyonun kritik noktalarında yerel max ve min değerinin olup olmadığını ve nasıl davrandığını (artma, azalma veya sabit kalma) kontrol edeceğiz. İkinci türev testine bakarakta fonksiyonun o noktalarda nasıl büküldüğünü (yukarı/aşağı konkavlık) grafiksel olarak anlamaya çalışacağız.

Bu durumu incelemeden önce, herhangi bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarında, birinci ve ikinci türevlerindeki değişimi ve bunların konkavlıkla ilişkisini grafik üzerinde inceleyelim.



Şekil 3.5 a ve Şekil 3.5 b'de görüldüğü gibi, f fonksiyonunun azalış gösterdiği bölgede f′<0 (eğim negatif), artış gösterdiği bölgede f′>0 (eğim pozitif), ve değişmediği yerde f′=0 (eğim 0). Eğimin negatiften pozitife geçiş yaptığı bölgelerde (− → 0 →+, f′↑ artıyor; negatif değerlerden pozitif değerlere) ikinci türev f′′>0. Bu bölgelerde grafik yukarı konkav. Fakat eğimin pozitiften negatife geçiş yaptığı bölgelerde (+ → 0 →−, f′↓ azalıyor; pozitif değerlerden negatif değerlere) ikinci türev f′′<0. Bu bölgelerde ise grafik aşağı konkav.



Yani, bir fonksiyonun 1. ve 2. türevine bakarak; o fonksiyonun hangi aralıkta artıp azaldığını, yukarı-aşağı konkav olduğunu, ve hangi noktalarda yerel max/min değerlerine sahip olacağını bulabiliriz:

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]



Diğer önemli bir durum ise büküm noktalarının (Inflection Points) bulunmasıdır, Şekil 3.5 d. Bu noktalar da kritik noktalardır, fakat buralarda yerel ekstremum değerlerinden bahsedemeyiz. Çünkü fonksiyon bu noktalardan sonra artışına veya azalışına devam ediyor, yani fonksiyonun türevi (eğimi) işaret değiştirmiyor. Bu kritik noktalar aşağı-yukarı konkavlık arası geçişlerin olduğu yerlerdir.



Büküm noktaları ayrıca, f′'in en büyük poztif ve negatif değerlerini aldığı noktalardır = f′ grafiğinin o bölgedeki tepe ve çukur noktalarıdır. Yani, bir f fonksiyonun büküm noktası: f′>0 ise f′ grafiğin tepe noktasını, f′<0 ise çukur noktasınıı oluşturur. Büküm noktalarının (parlayan turuncu noktalar) Şekil 3.5 f'de f ve f′ grafiklerinde nasıl konumlandığını görebilirsiniz.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]



Aşağıdaki şekilde herhangi bir fonksiyonun grafiğinden türevinin grafiğini elde etme adımları özetlenmiştir. Burada elde ettiğimiz f′ fonskiyonun grafiği bize genel bir bilgi verir, yani elde edilen fonksiyonun kabaca neye benzediğini söyler.



alıntı