|
|
23 Mayıs 2020, 11:36
|
#1 |
  |
Türev
Türev (Derivatives-Differentation)
1)Fiziksel Tanım (Değişim miktarı/hız): Bu yaklaşım Newton tarafından Klasik Mekanik’in geliştirilmesinde kullanıldı. Ana tema hız kavramına dayanıyor. Yukarıdaki şekile göre, A noktasından 3sn ve B noktasından ise 5 sn sonra geçtiğinizi ve bu noktalardaki pozisyonunuzun xA=9m , xB=25m olduğunu düşünün. Eğer bu iki nokta arasındaki ortalama hızınızı bulmak isterseniz yapacağınız işlem; Ortalama hız = (A ve B noktalası arasındaki mesafe) /(A ve B noktaları arasındaki zaman farkı) Bunu daha kısa bir şekilde ifade edebiliriz: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Şimdi iki nokta arasındaki ortalama hız yerine sadece bir noktadaki (örneğin A noktasındaki) hızı bulmayı deneyelim. Bu noktadaki hıza anlık hız denir. Bu hızı yukarıdaki hesaplama yöntemiyle bulamayız; yani cevabımız [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olamaz! İşte türev kavramının çıkış noktası burasıdır (bir noktadaki hız), yani burada anlık hızın hesaplanması için geliştirilen yöntem bizi türevin tanımına götürecektir. İlk örneğimize geri dönelim; ve B noktasını A noktasına mümkün olduğu kadar yaklaştıralım ( Şekil 2.1b). A ve B noktaları birbirlerine çok yakın olduğu için aralarındaki zaman-Δt ve mesafe-Δx de çok ama çok küçük olacaktır. Artık bu yeni mavi noktanın koordinatı xA+Δx ve zamanı tA+Δt'dir. Şimdi tekrar ortalama hız tanımımızı kullanabiliriz. Fakat bizim amacımız A noktasındaki anlık hızı bulmak. Bu şu anlama geliyor; bizim mavi noktayı kırmızı noktanın üzerine veya çok yakınına koyabilmemiz için aradaki zamanın (Δt) sıfıra yaklaşması gerekiyor. Yani aradaki zaman farkı sıfıra yaklaştığında (Δt→0 ) biz artık A noktasındayız ve bu noktadaki hızı biliyoruz demektir. Bu durum bizi otomatik olarak limit kavramına götürüyor. Dolayısıyla ortalama hız tanımından yola çıkıp limit kavramını da kullanıp A noktasındaki anlık hızı şöyle ifade edebiliriz: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Aşağıdaki şekilde yukarıda tartışılan durumlar özetlenmiştir.  Bu ifadeyi biraz daha genelleyelim ve pozisyonumuzu x⃗ A,x⃗ B gibi parametreler yerine zamana bağlı bir f(t) fonskiyonu ile ifade edelim, bu durumda anlık hızımız; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu tanımlamalardan sonra şimdi aldığımız yolun fonksiyonunun f(t)=t2 olduğunu düşünün ve tA=a sn'deki anlık hızı bulmaya çalışalım. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu tanımlamalardan sonra şimdi aldığımız yolun fonksiyonunun f(t)=t2 olduğunu düşünün ve tA=a sn'deki anlık hızı bulmaya çalışalım. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu işlemleri çok karmaşık ifadeler için yazmak ve çözmeye çalışmak çok pratik değil, bu nedenle daha kolay ve uygun bir notasyon kullanmak gerekir. Bu notasyon türevdir ve bunuda aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Yani t2 ifadesinin türevi 2t'dir. Örneğin, t=3s'deki anlık hız v(t=3)=2t=2.3=6m/s'dir. Burada f(t) fonksiyonu zamana t bağlı değişen bir fonksiyondur ve onun zaman göre değişim miktarı anlık hızı verir. Bu notasyonu herhangi bir fonksiyon ve değişken parametre için genelleyebiliriz: y=f(x) gibi genel bir fonksiyon tanımlayalım ve buradaki değişkenimiz x olsun ve y’deki değişim miktarını x’e göre hesaplayalım. y’nin türevini [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] olarak göstereceğiz: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Bu notasyon Wilhelm Gottfried Leibniz tarafından tanıtıldı. Leibniz ve Isaac Newton Kalkülüs’ün yaratıcıları olarak bilinirler. 2)Geometrik Tanım (Eğim): Türevin geometrik kavramı anlamak için Şekil 2.1a'da kayakçının geçtiği kırmızı noktadaki anlık hızı hesaplacağız. Dikkat ederseniz bu kırmızı noktaya teğet kırmızı bir çizgi var. Bu çizgi tanjant doğrusudur, ve bu doğrunun eğimi türevin tanımını verecektir. Diğer renkteki kesikli çizgiler sekant doğrularıdır, bu doğrular iki noktayı birleştiren doğrulardır (kırmızı-pembe, kırmızı-yeşil, kırmızı-mavi). Bizim başlangıç noktamızda bu doğrular olacaktır. Yol üzerinde pembe noktadan kırmızı noktaya ilerlediğimiz zaman (pembe noktayı kırmızı noktaya yaklaştırıyoruz) sekant doğrusunun tanjant doğrusuna yaklaştığını görebilirsiniz, ve kırmızı noktanın üzerinde veya çok yakınında sekant doğrusu artık tanjant doğrusuna dönüşüyor. İşte sekant doğrusu ile yola başlayıp (ortalama hız) tanjant doğrusu ile yolu bitirdiğimiz noktadaki anlık hız hesaplaması (tanjant doğrusunun eğimi) türevin geometrik tanımını veririr. Bu durumu detaylı bir şekilde farklı bir resim içinde inceleyelim, Şekil 2.1c. Mavi noktanın kırmızı noktaya çok yakın olduğunu düşünün ve şimdi bu iki noktayı koordinat eksenine taşıyalım (f(t)=yolun zamana göre değişim fonksiyonu, y-ekseni= alınan yol, x-ekseni= zaman), Şekil 2.1c-a. Kırmızı (x⃗ A, tA) ve mavi (x⃗ B, tB) noktalar arasındaki ortalama hızı hesaplarsak; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] f(t) fonksiyonu, A ve B noktalarındaki zamanı (tA, tB) bildiğimiz için x⃗ A ve x⃗ B'nin pozisyonunu f(t) fonksiyonunu kullanarak bulabiliriz: x⃗ A=f(tA), x⃗ B=f(tB). Böylece ortalama hızı koordinat ekseni üzerinde yeniden tanımlayabiliriz Şekil 2.1c-b; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Daha önce türevi fiziksel olarak tanımladığımız gibi mavi noktayı kırmızı noktaya çok yaklaştıracağız Şekil 2.1c-c, ve artık bu iki arasındaki mesafe Δx ve zaman farkı Δt çok küçük olacaktır. Bununla birlikte secant doğrusu tanjant doğrusuna daha çok yaklaşmış olacak. Dolayısıyla B noktasının yeni koordinatı x⃗ A+Δx→ ve buna karşılık zamanda tA+Δt olacak, böylece ortalama hızın bu biribirine iki yakın noktaya göre yeni formu Şekil 2.1c-d; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Şimdi tekrar Δt'yi 0'a yaklaştırırsak (Δt→0 ), mavi noktayı kırmızı noktanın üzerine veya çok yakınına getirmiş oluruz. Böylece secant doğrusu tanjant doğrusuna dönüşmüş olacak Şekil 2.1c-d. Ve secant doğrusunu kullanıp hesapladığımız eğim Δt→0 için tanjant doğrusunun eğimine eşit olacak. Bu da bizi kırmızı noktadaki anlık hıza yani türevin tanımına götür. Sonuç olarak tanjant doğrusunun eğimi= türev. [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]  alıntı |
|
|
|
30 Aralık 2021, 02:41
|
#2 |
  |
Nefret Edilesi Konu .
|
|
|
| Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir) | |
| Seçenekler | |
| Stil | |
|
|
Normal
