Tanım: Limitin en çok bilinen ve kullanılan tanımı şöyledir: f(x) fonksiyonunun limiti x a'ya yaklaştıkça L'dir, ve bunu matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade ederiz (x→a , f(x)→L).

limx→af(x)=L

Aslında bu ifade, limitin kesin ve en doğru tanımı değildir. Fakat çalışan bir tanımdır ; bize limitin ne olduğunu ve limitin fonksiyonlar hakkında neler söyleyebileceği konusunda fikir edinmemizi sağlar. Bizde limit konusunu işlerken bu tanım üzerinden yola çıkacağız. Bu konuya öncelikle sezgisel olarak yaklaşacağız, ve bu amaç doğrultusunda ilk etapta limitin nasıl hesaplandığına bakmayacağız.

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...][

Limit hesaplama yöntemlerini henüz öğrenmemiş olsanız dahi yukardaki sorunun cevabını x yerine değerler vererekte bulabilirsiniz, ve fonksiyonun x=2 civarında nasıl davrandığını gözlemleyebilirsiniz



Şekil 1.1a'deki tabloyu x'e hem sağdan hem de soldan 2'ye çok yakın olacak değerler vererek oluşturduk. Her iki durumda da x=2'ye ne kadar çok yaklaşırsanız fonksiyonunda 4'e o kadar çok yaklaştığını görebilirsiniz. Yani: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...] Dikkat ederseniz, x=2 değerini kullanmadık, çünkü bu değer fonksiyonun paydasını 0 yapıyor. Bu istenen bir durum değildir! Fakat limit zaten x=2 noktasında ne olduğuyla ilgilenmiyor, bu noktanın çok yakın komşuluğunda neler olduğu ile ilgileniyor. Dolayısıyla x=2'nin fonksiyonda kullanılıp kullanılmaması bir problem oluşturmaz.

Burada neler olduğu üzerine biraz daha kafa yoralım, ve örnekteki fonksiyonu ilgilendiğimiz bir x alanı içinde ( örneğin 0<x<6) grafikselleştirelim.



Dikkat ederseniz, fonksiyon x=3'de bir boşluğa sahip; burada fonksiyon mevcut değil, yani tanımsız! Ama daha öncede belirttiğimiz gibi biz bu noktanın kendisi ile ilgilenmiyoruz. x=3 noktasına fonksiyon üzerinde hem sağdan hem de soldan yürüyerek yaklaşırsak gördüğümüz değer 4'tür. İşte bu limitin değeridir! Başka bir deyişle; fonksiyonun x=3 etrafında ne yaptığını anlamaya çalışıyoruz, x=3 noktasında ne yaptığı bizi ilgilendirmiyor!

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bu örnekte ilk gözümüze çarpan, fonksiyonun x=3'te bir değere sahip olması, yani tanımlı olmasıdır f(3)=8.



Bu durumum kafanızı karıştırmasına izin vermeyin. Fonksiyonun, o noktada tanımlı olması demek limitin değerininin o olduğu anlamına gelmez! Biz halen, fonksiyonun x=3 noktasının etrafında ne yaptığı ile ilgileniyoruz. Bunu yaparken ayaklarımızın fonksiyon yolu/çizgisi üzerinde hareket etmesi gerekir, boşlukta değil! Yani yukarı zıplayıp içi dolu mavi noktanın neye karşılık geldiğini bulmak amacımız değil. Biz ayaklarımızı yerden kesmeden fonksiyonun yarattığı yol üzerinde hareket edip istenilen o özel noktaya sağdan ve soldan yaklaşıp çok yakınında gözlem yapıyoruz!! Yani bu örnekte de: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

Bu örnek için bir tablo oluşturup sonucu bulabilirdik, ama grafiksel olarak olayı incelemek çok daha kolay.



Şekilde de görüldüğü gibi, fonksiyon üzerinde x=3 noktasına soldan yaklaştığımızda gördüğümüz değer 4, sağdan yaklaştığızda gördüğümüz değer ise 8'dir. Ancak Limit'in var olabilmesi için her iki taraftanda yaklaştığınızda elde ettiğiniz değerin aynı olması gerekir! Eğer farklı değerler gözlemliyorsanız bu nokta için Limit YOK'tur: [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]

[Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]



Bir önceki örnekte, noktaya sağdan ve soldan yaklaştığımızda 2 farklı değer bulmuştuk. Ancak, bu örnekte x=0'a ister sağdan ister soldan yaklaşın net bir şey söyleyemezsiniz, her denemenizde farklı değerler elde edersiniz. x=0'a yaklaştıkça fonksiyon çok daha şiddetli osilasyon yapıyor, ve herhangi bir değerde karar kılmak mümkün olmuyor. Bu durumlarda da limitten bahsedemeyiz! Yani; [Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...]


Özet
Limit ilgili nokta çevresinde fonksiyonun nasıl davrandığı ile ilgilenir. Fonksiyonun o noktadaki değeri veya davranışı ile ilgilenmez.
x=a noktasına sağdan ve soldan yaklaştığınızda aynı değeri elde edebiliyorsanız limit vardır, ve cevabı bulduğunuz değerdir
x=a noktasında fonksiyon tanımsız olsa dahi, limitten bahsedebiliriz.
x=a noktasında fonksiyon tanımlı olsa dahi, bu Limit'in fonksiyonun o değerine karşılık geldiği anlamına gelmez. Olabilirde!
Limit her zaman olmayabilir! x=a noktasına sağdan ve soldan yaklaştığımızda farklı değerler elde ediyorsanız veya herhangi bir değere yakınsayamıyorsanız limit yoktur.
Limit hesaplamarında tablo kullanımı çok pratik değildir, ve bundan sonraki bölümlerde tablo ile limit hesaplamayacağız. Son örnekler, bu yöntemin kullanılmasının ne kadar tehlikeli olduğunu gösteriyor.
Bazı durumlarda limit hesaplama için grafik yönteminden başka bir yol olmayabilir (son örnekte olduğu gibi). Ancak bu çok pratik bir metod değildir, çünkü pek çok fonksiyonun grafik çizimi o kadar basit değildir. Eğer kolay çizebileceğiniz bir fonksiyon ile ilgileniyorsanız ve sonunda da güzel sayılar elde edebiliyorsanız grafik çizimi limit hesaplamada hayatınızı kolaylaştırabilir.
Burada tablo ve grafiklerden bahsettik çünkü: i) limit kavramını daha iyi anlamamız, ii) tablo/grafik kullanmaktan sakınmanız gerektiği konularının size açıklanmasında bize yardımcı oldular.


alıntı